?看點(diǎn)?? ?今年中考數(shù)學(xué)，引起了大眾不少關(guān)注。回歸試卷，眾多考生沒有拿下的最后一題，“難”在哪里？值得關(guān)注的是，這些題目完全回歸課本，沒有一點(diǎn)超綱考查，卻非常靈活。這些不套路的題目，對(duì)于我們今后小初高階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，又會(huì)有怎樣的啟發(fā)呢？
文丨魚圈教研團(tuán)? ? 編丨袁梓曦
截至我們發(fā)稿前，全國(guó)各地大部分地區(qū)都已經(jīng)結(jié)束中考。和高考一樣，考試結(jié)束網(wǎng)上最先討論的就是“今年考得難不難”這樣的話題。
根據(jù)網(wǎng)上的消息，我們大概捋了一下：
北京、上海、江蘇、重慶，安徽、青島的考生普遍覺得偏難；
浙江考生覺得沒那么難但全做出的人也不多。
整體來(lái)說(shuō)，今年中考的數(shù)學(xué)不簡(jiǎn)單。
不過(guò)，難易這種事，因人而異，網(wǎng)上的調(diào)查也僅限于當(dāng)事人觀感，咱們還是就事論事，把考卷拿來(lái)做一遍再評(píng)判。
2024年中考落下帷幕
數(shù)學(xué)又“難”又“簡(jiǎn)單”
我們一般說(shuō)數(shù)學(xué)考得難，指的是試卷最后一題難度，比如填空、選擇最后一題，最常見是看整張?jiān)嚲碜詈笠活}的難度。
普娃和牛娃的差距，或者說(shuō)最后孩子是去普高還是重高，很大程度上要看這種題目能不能做出來(lái)。
因?yàn)樵擃愵}目分值比較高，如果沒思路，那光一道題就能拉開10分左右的差距。在中考，也許志愿就得從上一檔滑落到下一檔了。
那我們具體來(lái)看一下這幾個(gè)省市中考數(shù)學(xué)的最后一道大題。
北京最后一題，把函數(shù)和幾何放在一起：
上海最后一題，幾何題：
重慶最后一題，幾何題：
浙江最后一題，幾何題：
我們做了下這幾道題，感覺論“知識(shí)點(diǎn)”不難，因?yàn)榻忸}中用到的都是課本內(nèi)的知識(shí)，而且是非常基礎(chǔ)的概念和定理。
那考生反饋的“難”是落在哪里呢？
我們認(rèn)為，是因?yàn)檫@些題目非常不套路。
知識(shí)點(diǎn)還是那些知識(shí)點(diǎn)，但考查的深度和靈活度和“刷的題”太不一樣了！
我們就以沒那么難的浙江卷為例，解題步驟不復(fù)雜：
本題在圓中內(nèi)接了四邊形，研究線與圓中四邊形基本元素之間的關(guān)系：
這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間不獨(dú)立，環(huán)環(huán)相扣。
只有真正理解概念和定理，而不是單純考記憶背出一些公式，才能在碰到這種題目時(shí)不慌不亂，抽絲剝繭，順利下筆。
從前刷題強(qiáng)調(diào)的解題技巧，現(xiàn)在都用不上了，只有重視數(shù)學(xué)概念、原理以及法則之間的聯(lián)系，理解透徹了，題也就不難了。
中考滿分的秘密——幾何
小學(xué)階段能做些什么
從上面分析可以看出，這些省市的最后一題一般都會(huì)選擇幾何題，或者把幾何和函數(shù)結(jié)合到一起考查。
我們翻看了往年的中考試卷，的確如此。
那么，對(duì)于家長(zhǎng)和孩子來(lái)說(shuō)，幾何的學(xué)習(xí)就得好好琢磨了，特別是想要沖刺滿分，目標(biāo)“重高”的家庭。
小初高的數(shù)學(xué)體系可以大致分成三個(gè)模塊：代數(shù)與計(jì)算、幾何和統(tǒng)計(jì)與概率。
我們重點(diǎn)看幾何模塊。
小學(xué)階段的幾何學(xué)習(xí)偏認(rèn)知向：了解點(diǎn)線面、平面圖形、立體圖形的基本特征。
考試也特別簡(jiǎn)單，反而在幾何計(jì)算中孩子失分的情況會(huì)更多一些，比如算周長(zhǎng)和面積。
這里家長(zhǎng)們要分辨一下，因?yàn)樾W(xué)幾何涉及的周長(zhǎng)面積是很“直白”的，更多的是考“代數(shù)能力”，比如下面這題
很少有孩子是因?yàn)椴粫?huì)正方形、長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)面積公式而錯(cuò)的。
所以，嚴(yán)格意義上，小學(xué)階段的幾何學(xué)習(xí)難度一點(diǎn)都不大。
初中階段，幾何學(xué)習(xí)要從初二開始：此時(shí)才對(duì)平面幾何有了深度探究，要能想象、能割補(bǔ)、會(huì)添輔助線，這才是真正的幾何入門。
幾何和代數(shù)學(xué)習(xí)不一樣。
做一道幾何題，最重要的就是思考出解題的邏輯線。從已知條件出發(fā)，一步一步，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝茖?dǎo)出結(jié)論，完成證明。
而到了高中之后，接觸的就是立體幾何了，在難度上當(dāng)然又升了一個(gè)臺(tái)階。不過(guò)在高中，會(huì)引入一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)——向量。
當(dāng)孩子會(huì)用空間向量后，很多立體問題其實(shí)可以轉(zhuǎn)為向量問題，那接下來(lái)需要的就是代數(shù)計(jì)算能力，和幾何相關(guān)性沒那么大了。
綜合以上分析，我們認(rèn)為對(duì)于幾何學(xué)習(xí)，最精髓的部分其實(shí)是在初中，真正用幾何思維來(lái)解幾何問題。
這就難怪，一張中考卷，幾何的分值大概占據(jù)40%-45%。
但是在小學(xué)階段，幾何學(xué)習(xí)確實(shí)比較淺；那么，對(duì)于學(xué)有余力的孩子，可以適當(dāng)給他鋪墊一些幾何認(rèn)知，這樣銜接到初中幾何會(huì)相對(duì)順暢。
注意，我們不建議提前去學(xué)習(xí)初中幾何內(nèi)容，而是在小學(xué)階段重點(diǎn)把幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和性質(zhì)好好摸透，搭建孩子的幾何底層能力。
有關(guān)「課內(nèi)」和「課外」的建議如下。
首先，一定要重視課內(nèi)。
再次強(qiáng)調(diào)，小學(xué)階段的幾何知識(shí)很簡(jiǎn)單，但不代表不重要。
尤其是簡(jiǎn)單幾何的概念和特征，他們是初高中幾何學(xué)習(xí)的地基，所有高階的幾何推理都是從一個(gè)點(diǎn)、一條線、一個(gè)面開始的。
如果孩子只是記住了知識(shí)點(diǎn)，而沒有去理解，遇到新題型，比如今年的中高考題目，自然覺得“很難”。
幾何非常重視邏輯性，我們可以讓孩子自己梳理出所學(xué)幾何知識(shí)的思維導(dǎo)圖；幾何圖形的一個(gè)性質(zhì)到另一個(gè)性質(zhì)是如何被推導(dǎo)出來(lái)的，最好都自己證明一遍。
能做到這一步，其實(shí)就是在課內(nèi)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上又向下深挖了一步，這個(gè)地基打得就越穩(wěn)。
在課內(nèi)基礎(chǔ)上，我們推薦做一些拓展。
學(xué)有余力的孩子，可以嘗試接觸小奧的幾何體系，一些題目蘊(yùn)含了不少幾何思維，可以更深刻地理解幾何之間的關(guān)系。
特別是它們涉及的原理都是當(dāng)前校內(nèi)知識(shí)，也就是說(shuō)，沒有需要超前和額外補(bǔ)充的知識(shí)點(diǎn)。
除此之外，家中可以提供一些幾何數(shù)學(xué)讀物給孩子，比起正兒八經(jīng)做小奧題，看看書就“無(wú)痛”多了吧。
繪本類：《折紙的幾何》《這就是幾何》《DK我的第一本幾何思維》《揭秘幾何》《形狀國(guó)的傳說(shuō)》
故事類：《幾何王國(guó)大冒險(xiǎn)》《幾何真好玩》
閱讀類：《圖解奧數(shù)》《幾何原本》《幾何之美》《不焦慮的幾何》
當(dāng)然，一些幾何的桌游也是很好的補(bǔ)充，盡量在孩子生活中滲透一些幾何思想。
那么，等孩子上了初中，他可以從容應(yīng)對(duì)幾何的學(xué)習(xí)和考試。
把中高考數(shù)學(xué)最后一題放一起看
數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)思維是關(guān)鍵
講完了中考，我們?cè)偻岸嗫匆徊?，把今?strong>高考卷的最后一題一起拿來(lái)比較下。
我們主要以新課標(biāo)Ⅰ卷為例，因?yàn)棰窬韰⑴c的省市都是采用新課標(biāo)的地區(qū)，也是教育改革的方向。
2024年數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)Ⅰ卷最后一題
今年考生普遍反映全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷最后一題，有點(diǎn)出人意料，考了一道新定義的數(shù)列題，屬數(shù)論知識(shí)，當(dāng)天考完出來(lái)發(fā)懵的考生非常多。
學(xué)生覺得“發(fā)懵”很大概率是因?yàn)檫@種題型完全沒見過(guò)，而“數(shù)論”在整個(gè)小初高學(xué)習(xí)中都不是重點(diǎn)，只是淺淺接觸了下。
甚至很多孩子都不知道這些知識(shí)點(diǎn)屬于數(shù)論的范疇，比如整除、余數(shù)、進(jìn)制都是數(shù)論里研究的內(nèi)容。
數(shù)論的入門學(xué)習(xí)在小奧中會(huì)有一些，其余就完全是大學(xué)才會(huì)學(xué)到的內(nèi)容。
因此有挺多博主就開始宣傳，高中要提前讓孩子學(xué)高等數(shù)學(xué)。
按照他們的理論，那孩子要學(xué)的東西可太多了，什么“極限與洛必達(dá)法則”、“微分中值定理與應(yīng)用”、“凸凹性與偏導(dǎo)數(shù)”、“定積分與應(yīng)用”……
難道不提前學(xué)一些大學(xué)知識(shí)，就考不好高考了嗎？
不然。
參考人教版高中數(shù)學(xué)主編章建躍老師的解釋和分析，其實(shí)解這題所必需的知識(shí)限定完全都在高中課本中。
章建躍：2024高考數(shù)學(xué)的啟示《回歸課標(biāo)、重視教材才是王道》
雖然這里構(gòu)建了一個(gè)新情境，但是前兩問只要能讀懂題，理解題目中給出的概念，找到有效信息，就能做。
第三問，有一些難度，構(gòu)造了新的知識(shí)，但是題目中把關(guān)于數(shù)論的相關(guān)知識(shí)都告知了，考生需要的就是“依樣畫葫蘆”。
它考查的是考生對(duì)新知識(shí)的現(xiàn)場(chǎng)理解能力，用數(shù)學(xué)思維現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，高效率地接受新知識(shí)并應(yīng)用。
其實(shí)很多國(guó)內(nèi)優(yōu)質(zhì)學(xué)校的自主招生，很早就開始采用“現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用”的招生策略，因?yàn)檫@樣可以更客觀地挑選出學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的孩子。
所以，我們認(rèn)為，高考考到一些沒有學(xué)過(guò)的知識(shí)，本意上不是為了單純鼓勵(lì)孩子去超前學(xué)；
而是希望通過(guò)一道“新題型”來(lái)篩選出真正有數(shù)學(xué)能力的孩子。
這里講的數(shù)學(xué)能力，可以簡(jiǎn)單理解為：
遇到一個(gè)新的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生可以從自己的“知識(shí)庫(kù)”中，迅速組建起一套全新的解題邏輯，來(lái)應(yīng)對(duì)新問題，而不是拿一個(gè)成品化的模具來(lái)試著套一套。
即這種能力無(wú)法通過(guò)反復(fù)刷題刷出來(lái)。
如此分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)雖然中高考考查的知識(shí)點(diǎn)和難度完全不同，但考查方向和邏輯是一致的。
中高考的最后一題絕對(duì)不是考學(xué)生的“知識(shí)量”，它所注重的是“數(shù)學(xué)能力”。
而構(gòu)建數(shù)學(xué)能力背后，需要的是對(duì)數(shù)學(xué)概念原理的理解并應(yīng)用，即所謂的“數(shù)學(xué)思維”。
這一點(diǎn)，在孩子今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，是我們需要重點(diǎn)關(guān)注的。
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